90°より大きい時、正弦定理は成り立つのか。  という事が気になっていたのに余弦定理の証明を勉強し始めてしまった残念大学生

90°より大きい時、正弦定理は成り立つのか。 
[ 成り立つ ]

90°より大きい時、正弦定理は成り立つのか。 

という事が気になっていたのに余弦定理の証明を勉強し始めてしまった残念大学生

正弦定理についての疑問を解決しようとネットを開いたのに、つい検索で出てきた証明に興味が湧いてしまった。知らないものが出てくると興味がそちらにそれてしまうのは何とかならないものか。これを繰り返していろんなことに詳しい人になってそれでどこかで重宝してもらえたりしないだろうか。甘い考えだけれど。

余弦定理の証明は三平方の定理で行うときいた(チラ見した)ので、やってみる。
∠Bが直角の三角形の時、三平方の定理
b^2=a^2+c^2
a/b=sinA  a=bsinA    c/b=cosA c=bcosA
b^2=b^2 sin^2A+b^2cos^2A
あれ、最終的に目指すものはなんだ、
a^2=b^2+c^2-2bc cosA
リトライ。
b^2=a^2+c^2
a^2=c^2-b^2
b^2 sin^2A=b^2cos^2A-b^2
これはbも加工しなければならないのか…?間違っている気がしてきた。
a/b=sinAより、b=a/sinA
sinが分母にはなかった気がする。三平方でするといいってとこまで聞いておいてこの有様は笑う。


解答を見る。初めに見かけたサイトには完成形があることを知っているので、ヒントをかじらせてもらおうと思いヤフー知恵袋さんを開く。勉強系でヤフー知恵袋さんにお世話になるとは。ほかにもきっと面白いのがあるんだろうな。
解答をみてしまったが私のことなので書いてみようとすると書けないことが度々ある。つまり理解できていないという事だ。まぁ書いてみよう。
a^2=b^2+c^2-2bc cosA
c/b=cosA c=bcosA 
したがって、a^2=b^2+c^2-2bc cosA
a^2=b^2+c^2-2cb cosA
a^2=b^2+c^2-2c・c
a^2=b^2-c^2
b^2=a^2+c^2 三平方の定理より、a^2=b^2+c^2-2bc cosAは成り立つ。

むかしA先生が数学の授業で、「複雑なものから簡単なもののほうに証明していくんですよ」って言っていた気がする。今思い出すと話し方丁寧だったし、哲学の話とかもしてたし、広い教養のある先生だったんだなあと思う。ショートホームルームの時に、先生が難しい本を一冊読み切ってみるといいっていう話をしていたことを覚えてるなぁ。

うわぁ。三平方の定理の変形で余弦定理作っている回答者さんがいる。
b^2=a^2+c^2
c=bcosA 
両辺にcをかけて、
c^2=bc cosA
b^2=a^2+c^2より、a^2=b^2+c^2-2c^2
a^2=b^2+c^2-2bc cosA

お、おお…すごい…

数学、全くできなかったから苦手意識持っていたけれど、自分のペースで興味の湧いたときに学ぶのは楽しそうである。自分自身で証明できたときや解けたときの楽しさには程遠いかもしれないけれど、証明を読ませてもらうのは楽しい。インターネットすごい。
人に教えてもらうことは好きだけれど人と関わると緊張で頭が働かなくなってしまうので、この時代に生まれてよかったと思う。

ちなみに私が初めに見たサイトの解答はもっと高度なことをしていました。KIT数学ナビゲーションさんというサイト。余弦定理 (kanazawa-it.ac.jp)ほかにも高校数学の様々な記事を書いてくださっているようである。理解が進むかもと思って私の言葉で内容をメモするけれどド文系なので書き方が適切だなんで思っていない。
(メモ)直角とかではない三角形の1つの頂点から垂線をおろして、斜辺=垂線^2+底辺^2にして、底辺は大きいほうの三角形の辺-残りの三角形の底辺
読んでわかった気になっていたけれど全く消化できてなかったな。

本題:90°より大きい時、正弦定理は成り立つのか。 

こちら本題なのですが、余弦定理の証明を理解したくて頭を使ってしまったので今からがっつり勉強するのは厳しい。勉強の習慣を無くした大学生わたし、無様である。
こちらはきっと最高なサイト。正弦定理 (geisya.or.jp)
場合分けしてくれているし、説明も親身そうである。明日あたりには読みたいね。

こうして先延ばしが行われるのです。高校のA先生が「愚か者~」って煽りながらユーモア交えて教えてくれていたのを思い出す。いい先生だったな。眠気に耐えることと当てられないことしか頭にない生徒だったの申し訳ない。

もしもし万一これを読んでくれた方がいたらありがとうございます。大感謝。